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我记得上大学时,我的数学老师是个个子矮小的廖教授,纺大教授,这么多年过去了,他给我们讲课时那自信满满的样子,我就会不自觉的露出笑容,即便如此,当年教授给我们的知识也很多被遗忘了,知识就是这样,长期不用了,就会遗忘了,只有不停的去使用,你才是它的主人,一旦撒手,它就是你的主人,它认识你,你不认识它!
就比如我现在心心念念的去追寻的四维时空转换问题,其实当初大学老师都教过我们了。只是那些书都在我原来的房间楼梯间里发霉了!
现在回想起来,真不能怪我,知识用来方恨少,提笔欲书坎坷多!
下面我们就来回顾一下四元数的前世今生:
四元数(quaternions)是一种扩展了复数系统的数系,由爱尔兰数学家威廉·罗恩·哈密顿(william Rowan hamilton)在1843年提出。四元数可以用来表示三维空间中的旋转,这在计算机图形学、机器人学和航空航天工程等领域非常有用。
一个四元数可以写成以下形式:
[ q = a + bi + cj + dk ]
其中,(a)、(b)、(c)、(d) 是实数,而 (i)、(j)、(k) 是四元数的三个虚部单位。这三个虚部单位满足以下乘法规则:
[ i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 ]
[ ij = k, \\quad ji = -k ]
[ jk = i, \\quad kj = -i ]
[ ki = j, \\quad ik = -j ]
这些规则表明四元数的乘法不满足交换律,即一般情况下 (pq eq qp)。
四元数的一个重要应用是表示三维空间中的旋转。特别是,一个单位四元数可以表示一个旋转轴和一个旋转角度。给定一个单位四元数 (q = a + bi + cj + dk),其中 (a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 1),它可以用来表示围绕轴 ((\\theta, u)) 的旋转,其中 (\\theta) 是旋转角度,(u = (b, c, d)) 是旋转轴的方向向量,(a = \\cos(\\theta\/2))。
使用四元数进行旋转的优势在于避免了万向节锁(gimbal lock)的问题,并且在数值上更加稳定。此外,四元数的插值(如球面线性插值,Slerp)提供了平滑的旋转路径,这在动画和实时渲染中非常有用。
四元数在现代技术中的应用包括但不限于:
计算机图形学中的三维模型旋转
航空航天工程中的姿态控制
机器人学中的运动规划
虚拟现实和增强现实中的头部追踪
游戏开发中的角色和物体的旋转
四元数的概念虽然相对复杂,但由于其在处理旋转时的效率和稳定性,它们在需要高效、准确地处理旋转操作的领域中得到了广泛的应用。
接下来我们把它扩展到一般的五元数和5*5的矩阵中按标准矩阵运算法则运算,来找出其规律!
在数学中,五元数(quintenions)并不是一个像四元数(quaternions)那样广为人知且有明确定义的代数结构。四元数是由威廉·罗恩·哈密顿(william Rowan hamilton)在1843年提出的,它们构成一个四维的超复数系统,具有特定的乘法规则。然而,对于五元数或其他更高维度的超复数系统,并没有一个统一的定义或者广泛接受的乘法规则。
如果我们试图构造一个五元数系统,我们可以考虑一个形如 ( q = a + bi + cj + dk + el ) 的表达式,其中 ( a, b, c, d, e ) 是实数,而 ( i, j, k, l ) 是五个虚部单位。但是,为了使这个系统成为一个代数,我们需要定义这些虚部单位之间的乘法规则,并且这些规则需要保证乘法的封闭性(即任意两个五元数的乘积仍然是五元数)。
在四元数中,虚部单位 ( i, j, k ) 的乘法规则是精心设计的,以满足特定的代数性质,例如无零因子(non-zero divisors)和结合律(associativity)。然而,当我们尝试扩展到五元数时,要保持这些性质变得非常困难。实际上,如果要求乘法结合律,那么这样的五元数系统是不可能存在的,因为根据弗罗贝尼乌斯定理(Frobenius theorem),实数域上的有限维可除代数只有三种:实
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