第208章 真正的十全十美哈（2 / 3）

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psi(x,t) = \\hat{h}\\psi(x,t) ] 其中，Ψ(x,t)是波函数，t是时间，\\hat{h}是哈密顿算符，它是动能和势能算符的和： [ \\hat{h} = \\hat{t} + \\hat{V} ]

在势阱内部，薛定谔方程简化为： [ i\\hbar\\frac{\\partial}{\\partial t}\\psi(x,t) = -\\frac{\\hbar^2}{2\\mu}\\frac{\\partial^2}{\\partial x^2}\\psi(x,t) ]

这是一个时间依赖的偏微分方程，其解可以写成时间和空间的分离形式： [ \\psi(x,t) = \\psi(x)e^{-iEt\/\\hbar} ] 其中，ψ(x)是时间独立的波函数，E是能量本征值。

将这个形式代入薛定谔方程，得到时间独立部分的薛定谔方程： [ - \\frac{\\hbar^2}{2\\mu}\\frac{d^2}{dx^2}\\psi(x) = E\\psi(x) ]

这是一个二阶常微分方程，其解为： [ \\psi_n(x) = A_n\\sin\\left(\\frac{n\\pi x}{L}\\right) ] 其中，n是一个正整数，代表弦的振动模式，A_n是归一化常数。

能量本征值为： [ E_n = \\frac{n^2\\pi^2\\hbar^2}{2\\mu L^2} ]

因此，一维无界弦的振动模式可以用正弦波的线性组合来表示： [ \\psi(x,t) = \\sum_{n=1}^{\\infty}A_n\\sin\\left(\\frac{n\\pi x}{L}\\right)e^{-iE_nt\/\\hbar} ]

通过归一化条件可以确定系数A_n，确保波函数的总概率为1。

而它的频率计算为：

一维无界弦的振动频率可以通过其能量本征值来计算。根据量子力学中的薛定谔方程，一维无限深势阱问题的能量本征值由以下公式给出： [ E_n = \\frac{n^2\\pi^2\\hbar^2}{2\\mu L^2} ] 其中，( E_n )是第n个能级的能量，( n )是量子数（正整数），( \\hbar )是约化普朗克常数，( \\mu )是弦的线密度（质量除以长度），( L )是弦的长度。

振动频率 ( f_n )与能量本征值 ( E_n )之间的关系由以下公式给出： [ f_n = \\frac{E_n}{h} ] 其中，( h )是普朗克常数。

将能量本征值的表达式代入上述频率公式，我们得到： [ f_n = \\frac{n^2\\pi^2\\hbar^2}{2\\mu L^2h} ] 因为 ( \\hbar = \\frac{h}{2\\pi} )，所以可以将 ( \\hbar )替换为 ( \\frac{h}{2\\pi} )，从而得到： [ f_n = \\frac{n^2\\pi}{2\\mu L^2} ]

这就是第n个振模式的频率。需要注意的是，这里的频率是角频率，单位是弧度每秒（rad\/s）。如果要转换为周期性频率（单位是赫兹，hz），我们只需将角频率除以 ( 2\\pi )： [ f_n(\\text{hz}) = \\frac{n^2

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