第142章 别出一格的解法！（1 / 2）

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陆天手持圆珠笔，笔尖不断在纸张上滑动，一个个优美的数字出现。

字很漂亮。

但......这是数学，字写的漂亮并没有任何作用！

吴老在心中感叹，小李这是看走眼了啊！

其他六位高中生此时也已经有人动笔了，而且有人的思路是正确的，正在得出正确答案的道路上一路狂飙。

反观陆天，这题解的，属实是有点抽象了。

吴老甚至都不知道他是在算些什么。

可突的，吴老一愣！

因为一个熟悉的数字出现在了他的视野海中。

正是论证过程中，某一阶段的重要数字。

“这......”

吴老懵了，随即倒吸一口冷气，一个惊天的想法出现。

难道......陆天是在用另一种解法解题？？

可是国际上的那些有名的数学家，当时也只是给出了一个标准答案而已啊！

事实上，陆天确实是在用另一种方法解题。

他用到的方法叫做“韦达跳跃”。

“韦达跳跃”的概念其实都只是来自高中数学，没有什么高深的，只不过是利用了极尽巧妙的方法，把初等数学的威力发挥得淋漓尽致而已。

这技巧牵涉到两个重要数学知识：一是韦达定理，一是无穷递降法。

韦达定理其实就是二次方程中根的和与积及系数的关系：

设一元二次方程 ax2+bx+c=0 有根a与β，那么a+β = -b\/a，aβ=c\/a。

这是香港那边，高中数学第一课的内容，是广为人知的。

虽然课程没有用到韦达定理这个很专业的名称。

至于无穷递降法则是一种反证法，用的是“没有最小，只有更小”的概念。

如果我们假设，一方程式如果有一正整数解，那么应该有一最小的解。

然后我们再证明“如果有一解，必有另一个更小的解”，也就是说“没有最小，只有更小”，这与方程式有最小解互相矛盾。

唯一的可能性就是我们的假设出错，方程式根本上没有解。

这个方法最先由地球上的大数学家费马使用，他据此证明了x4+y4=z4没有正整数解，也就是费马大定理中n=4的情况。

欧拉也用无穷递降法证明过，每个除4后余数为1的质数都可以表达为两个平方之和。

值得一提的是，这定理也是由费马最先提出的，虽然他没有提出证明。

此时，陆天的白纸上已经写满了数字，吴老站在后面，是越看越激动！

真的是另一种解法！

而且比起国际上那些数学专家们给出的标准解法更加的完美漂亮，别出一格！

这要是宣传出去，恐怕整个数学界都要震惊于陆天的奇思妙想！

是怎么样的一个聪明大脑，才能想出如此精彩独到的解题方法！

只见陆天在纸上写道，

“ab+1可以整除a2+b2，所以 (a2+b2)\/(ab+1) 是正整数。

设有正整数a及b满足(a2+b2)\/(ab+1)=k，其中k不是平方数，我们将制造出一个矛盾去证明这是不可能的，所以k必为平方数。

在众多组满足条件的正整数a、b中，必有一组的和是最小的，我们设它为a1与b1。由于把a1与b1互换，也不会影响 (a12+ b12)\/(a1b1 +1) 的值，所以我们不妨假设a1＞= b1。

将a1与b1代入上面的式子得到......

a1是一元二次方程 x2 - kb1 x+ (b12-k) = 0 的一个根，设方程的另一个根为a2。根据韦达定理，我们得到......

由此进一步得到a2需要满足的条件。

根据 (1)，a2必为整数。

根据 (2)，a2不可能是0，因为k不是平方数，b12-k不可能是0。

k是正整数，b1是正整数，(a22+ b12)\/(a2b1+1) = k，显然a2不可以是负数。

根据上方假设过 a1＞= b1，因此根据 (2)，a2必定小于a1。

综上所述，我们有一小于a1的正整数a2，令(a22+ b12)\/(a2b1 +1) = k，其中k不是平方数。

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