第223章 神奇的泰勒展开式（1 / 4）

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第 223 章 神奇的泰勒展开式

时光荏苒，在戴浩文的悉心教导下，学子们在数学的海洋中不断前行，收获了越来越多的知识。

这一日，戴浩文再次踏入学堂，他的目光中带着新的期待与热情。

“诸位学子，今日吾将为尔等传授一项更为高深且奇妙的数学知识——泰勒展开式。”戴浩文的声音在学堂中响起，引得学子们纷纷正襟危坐，全神贯注。

戴浩文在黑板上写下一个复杂的函数，缓缓说道：“在我们平日所接触的数学中，常有一些函数难以直接计算或理解其性质。然而，泰勒展开式却能为我们提供一种巧妙的方法，将这些复杂的函数化为一系列简单的多项式之和。”

学子们面面相觑，脸上露出疑惑的神情。戴浩文微微一笑，继续解释道：“且看这一简单之例，若有函数 f(x) = e^x ，其泰勒展开式便是 e^x = 1 + x + x^2\/2! + x^3\/3! + x^4\/4! +... 。”

“先生，这诸多的符号与算式，实是令人眼花缭乱，不知其所以然。”李华忍不住说道。

戴浩文点了点头，说道：“莫急，李华。吾先为尔等解释其中之关键。这‘!’乃是阶乘之意，如 3! 便为 1x2x3 = 6 。而这泰勒展开式之精髓，在于以多项式之近似来表达复杂之函数。”

他拿起粉笔，边写边道：“以 f(x) = sin(x) 为例，其泰勒展开式为 sin(x) = x - x^3\/3! + x^5\/5! - x^7\/7! +... 我们通过这一系列的多项式，便能在一定范围内对正弦函数进行近似计算。”

王强皱着眉头问道：“先生，那如何确定这近似的精度与范围呢？”

戴浩文赞许地看了王强一眼，说道：“此问甚妙。这便取决于我们所取的多项式的项数。项数越多，近似的精度便越高，适用的范围亦越广。”

戴浩文又在黑板上画出函数图像，说道：“诸位请看，当我们只取泰勒展开式的前几项时，其与原函数的图像在局部较为接近；而随着项数的增加，两者几乎重合。”

学子们纷纷点头，似有所悟。

戴浩文接着说道：“泰勒公式之应用，广泛且重要。于天文历法之推算、工程建筑之设计，乃至音律之探究，皆有其用武之地。”

赵婷问道：“先生，如此精妙之公式，是如何得来的呢？”

戴浩文思索片刻，说道：“此乃众多数学大家经过深思熟虑与反复推导所得。其基于函数在某一点的导数信息，逐步构建出这一近似表达式。”

为了让学子们更好地理解，戴浩文又以具体的数值例子进行演示。

“假设我们要计算 e 的近似值，已知 e 约等于 2. 。若我们取 e^x 的泰勒展开式的前几项，如 1 + x + x^2\/2 ，令 x = 1 ，则可得 1 + 1 + 1\/2 = 2.5 ，虽与真实值有差距，但已颇为接近。若再增加项数，精度将更高。”

学子们纷纷拿起笔，跟着戴浩文的例子进行计算，学堂中顿时响起一片沙沙声。

戴浩文在学堂中踱步，观察着学子们的计算过程，不时给予指点。

“张明，计算阶乘时要仔细，莫出错。”

“王强，注意小数点的位置。”

经过一番练习，学子们对泰勒展开式有了初步的认识。

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